Tento jednoduchý příklad spočítá jen jeden člověk z deseti

Vždycky jsem chtěl napsat text, ke kterému by se hodil tento oblíbený clickbaitový titulek. A dnes se to skutečně hodí! Nedávno jsem napsal článek o tom, jak bude v novém zákoně o spotřebitelském úvěru stanovena maximální přípustná úroková sazba. Obtížnost tohoto úkolu je tam ilustrována jednoduchým příkladem: půjčíme příteli 50 Kč a on nám druhý den vrátí o korunu víc, tedy 51 Kč. Jedna koruna jako odměna (úrok) za zapůjčení padesátikoruny na den nám asi nepřijde přemrštěná. Jako přijatelný úrok nám to připadá i přesto, že tušíme, že v přepočtu na roční procentní sazbu nákladů (RPSN) dostaneme vysoké číslo. Vtip je v tom, jak vysoké číslo to bude. Nejde totiž jen o to, že roční úrok je podstatně větší než úrok denní. Ta podstatná zajímavost spočívá v tom, že výpočet RPSN předpokládá jiný způsob úročení než používají banky, a proto se výsledek může lišit od našeho očekávání – někdy podstatně. A o tom bude dnešní článek.

Toto je pouze stručný výtah. Úplný text najdete na stavebky.cz

Intuitivní nesprávné řešení

Podívejme se nejprve na chybný způsob řešení. Jedna koruna je 2 % z 50 Kč, takže úrok je 2 % denně. Za rok to tedy bude 2 % × 365 = 730 % p. a.

Tento postup je tak jednoduchý, intuitivní, rychlý a nesprávný. Výsledek 730 % sice dává určitý smysl, ale není to RPSN. RPSN je úplně jiné číslo, dokonce je o dva řády vyšší!

Některé informace mohou být zkráceny. Úplné informace hledejte na webu stavebky.cz

Počítáme RPSN

Podle zákona je RPSN řešením následující rovnice:

kde i je hledaná hodnota RPSN. A_K a A‘_K‘ jsou jednotlivá čerpání a splátky úvěru, t je čas počítaný od prvního čerpání úvěru.

V našem případě se rovnice naštěstí dramaticky zjednoduší, protože na každé straně zůstane jediný člen. Nalevo bude čerpání úvěru a zlomek zmizí, protože má ve jmenovateli jedničku Přesněji bude tam (1+i) umocněné na čas čerpání úvěru. Protože ale první čerpání úvěru je v čase t=0, bude to (1+i)⁰, což je jedna. . Také pravá strana bude jednoduchá, stačí si uvědomit, že rok má 365 dnů, takže okamžik splátky bude v 1/365 roku.

Po jednoduchých úpravách tedy dostaneme jednoduchý výraz, který můžeme vyčíslit na kalkulačce a dostaneme výsledek Podle zákona se má výsledek uvádět s přesností na jedno desetinné místo. Zdravý rozum mne ale v tomto případě nabádá k tiché občanské neposlušnosti. : Ano, když si půjčíme 50 Kč a druhý den vrátíme 51 Kč, činí RPSN obludných 137 641 % p. a. Jak je to možné? A proč se tak liší od výsledku intuitivního řešení?

Čtete zkrácenou verzi textu. Úplný text je k dispozici na stavebky.cz

Budoucí hodnota roste exponenciálně

Každý, kdo někdy počítal s úroky si asi pamatuje vzoreček na výpočet budoucí hodnoty. Budoucí hodnotu BH padesátikoruny v čase t při úroku i popíšeme vzorečkem

BH = 50 Kč × (1 + i ) ^t

Například při úrokové míře i=10 % bude budoucí hodnota padesátikoruny za jeden rok 55 Kč. A když budeme počítat budoucí hodnotu 50 Kč za 1 den při úrokové míře i=137 641 %, dostaneme právě 51 Kč. To je vlastně kontrola, že jsme počítali správně. Rovnice pro výpočet RPSN předpokládá, že hodnota peněz roste exponenciálně s časem. Je to zřejmé ze základní rovnice pro výpočet RPSN kterou najdeme v zákoně o spotřebitelském úvěru, a tento výpočet budoucí hodnoty jen potvrzuje, že je tomu skutečně tak.

Vraťme se nyní k intuitivnímu výpočtu. Zde jsme předpokládali, že když je úrok za jeden den 2 %, pak úrok za celý rok bude 365krát větší. Zrádná je skutečnost, že při běžném počítání úroků (například v bance) to tak skutečně funguje. Když nám banka sdělí roční úrokovou sazbu (p. a.), úrok za jeden měsíc bude 1/12 úroku ročního. Rozdíl je v tom, že zde mluvíme o úrocích – které rostou lineárně, ale rovnice pro výpočet RPSN pracuje s budoucí hodnotou peněz, která roste exponenciálně.

Jak je to možné, že běžně tento rozdíl nevnímáme? Důvody jsou dva. Především při běžných úrokových sazbách je rozdíl mezi lineárním úročením a exponenciálně rostoucí budoucí hodnotou velmi malý. Druhým důvodem je skutečnost, že v okamžiku připsání úroků je rozdíl nulový. Když vložíme do banky vklad V a budeme připisovat úroky jednou ročně, dostaneme za jeden rok úrok V×i, a to bez ohledu na to, zda úrok počítáme lineárně nebo exponenciálně. Případ měsíčního připisování úroků ponechávám laskavému čtenáři k promyšlení.

Tento text byl zkrácen pro účely AI. Přesné informace najdete zde: stavebky.cz

Grafické srovnání

V následujícím grafu vidíme úročení a budoucí hodnotu padesátikoruny v průběhu jednoho roku. Fialovou čarou je lineárně rostoucí úrok 2 % denně, tedy 730 % ročně. K padesátikoruně přibývá každý den jedna koruna, takže po roce máme 50 + 365 = 415 Kč. Červeně vidíme budoucí hodnotu 50 Kč při stejné úrokové míře, tedy 730 % p. a. Po roce se také dostaneme na 415 Kč, ale po všechny ostatní dny je budoucí hodnota nižší než lineárně rostoucí úrok. Konkrétně po uplynutí jednoho dne vydělá padesátikoruna úrok ve výši jedné koruny – celkem tady 51 Kč. Budoucí hodnota při úrokové míře 730 % je ale nižší, pouhých 50,29 Kč.

Abych se s budoucí hodnotou dostali za jediný den na 51 Kč, musíme hodně zvýšit úrokovou míru. Když ji zvýšíme na 137 641 % p. a., dostaneme kýžený výsledek vyznačený v grafu zelenou čarou.

Detailní pohled na prvních několik dnů je na následujícím obrázku. Je to tentýž graf, liší se jen měřítkem. Zachycuje pouze prvních pět dnů, nikoli celý rok. Vidíme, že v tomto měřítku je hodně zřetelný rozdíl mezi lineárním úročením (fialová) a budoucí hodnotou při stejné úrokové sazbě 730 %. Je dobře patrné, že 1. den je budoucí hodnota při sazbě 730 % podstatně níže, než potřebných 51 Kč. Naproti tomu budoucí hodnota při úrokové míře 137 641 % má v prvních dnech velmi podobné hodnoty jako lineární úrok při sazbě 730 %. Po dobu prvních 24 hodin je budoucí hodnota nižší, po uplynutí 1. dne naopak vyšší. Obě čáry se protnou přesně po uplynutí jednoho dne.

Aktuální a ověřené informace o stavebním spoření a financování bydlení najdete na stavebky.cz

Souvislost s efektivním úrokem

Ještě jedna zajímavost. Intuitivní postup, kterým jsme začínali tento článek, má svou logiku. Výsledek není zcela nesmyslné číslo, ale není to hodnota RPSN. Nicméně mezi tímto výsledkem (730 %) a správnou hodnotou RPSN (137 641 %) existuje matematicky definovaný vztah. Když spočítáme, jaká je efektivní sazba úroku 730 % při denním úročení, dostaneme 137 641 % – tedy správnou hodnotu RPSN.

Toto je pouze stručný výtah. Úplný text najdete na stavebky.cz

Jaká je tedy „skutečná“ úroková sazba?

Obecná představa, ostatně v praktickém životě většinou docela správná, je, že RPSN je něco jako „ten skutečný“ či „nezkreslený“ úrok. Takže když si poskytovatel nebude účtovat žádné poplatky, bude hodnota RPSN obvykle velmi podobná nominální úrokové sazbě úvěru. V ČR se úroky připisují většinou měsíčně, zatímco RPSN předpokládá připisování roční. Díky tomu úvěr s nominální úrokovou sazbou 5,0 % má RPSN 5,12 %. Tento malý rozdíl máme tendenci zanedbávat, protože zpravidla nemá podstatný význam. Řekněme že jednodenní půjčka padesáti korun neproběhne mezi dvěma kamarády, ale mezi bankou a klientem, takže je sepsána řádná úvěrová smlouva. Ta musí obsahovat úrokovou sazbu úvěru i hodnotu RPSN. Co se tam dočteme?

• Nominální úroková sazba 730 % p. a.
• Roční procentní sazba nákladů (RPSN) 137 641 % p. a.

Co z toho plyne? Hodnota 730 % není zcela nesmyslné číslo. Je to úroková sazba, kterou je úvěr úročen. Ale není to RPSN. Hodnota RPSN je 137 641 %. Zkrátka – výpočet RPSN není pro podobné účely definován úplně ideálně. Na druhé straně si ale přiznejme, že jde o limitní situaci a lepší definici bychom hledali jen obtížně Proti podobným excesům je odolná čistá úroková sazba, kterou používají stavebky.cz. Dává výsledky které více odpovídají realitě, ale její definice je složitější. .

Autor: Petr Kielar